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Guide 4 sur 7

Pourquoi les distances sont calculées avec la formule de Haversine

Trois décisions de calcul se cachent derrière chaque distance affichée. Aucune n’est neutre, et l’une d’elles introduit une erreur volontaire de vingt-trois kilomètres sur un Paris–Tokyo.

Quand tu proposes une ville, Trilatéra dispose de quatre nombres : deux latitudes, deux longitudes. Il doit en tirer une distance. Ça paraît trivial et ça ne l’est pas - il y a au moins trois manières de s’y prendre, et elles ne donnent pas le même résultat.

La méthode fausse : traiter la carte comme une feuille

La tentation est de faire du Pythagore sur les degrés : on soustrait les latitudes, on soustrait les longitudes, on applique le théorème et on multiplie par 111,32 km, la valeur d’un degré. C’est ce que fait implicitement quiconque estime une distance à la règle sur une carte rectangulaire.

Le résultat est faux, et pas d’un peu. Sur Paris–Marseille, cette méthode donne 704 km au lieu de 660, soit près de 7 % d’erreur - assez pour faire passer un essai de « chaud » à « frais » et t’envoyer chercher au mauvais endroit.

La faute vient de la longitude. Un degré de latitude vaut bien 111 km partout, parce que les méridiens sont tous des grands cercles. Mais un degré de longitude rétrécit à mesure qu’on monte vers le pôle, où tous les méridiens se rejoignent : il ne vaut plus que 77 km à la latitude de la France et 56 km à celle d’Oslo. Compter un degré de longitude comme un degré de latitude revient à étirer artificiellement l’Europe dans le sens de la largeur - c’est d’ailleurs très exactement ce que fait la projection de Mercator, et c’est pour ça que le Groenland y paraît grand comme l’Afrique.

La bonne grandeur : l’orthodromie

La distance correcte entre deux points d’une sphère est la longueur de l’arc de grand cercle qui les joint - l’orthodromie. C’est le plus court chemin à la surface, celui que suivrait une ficelle tendue sur un globe.

À l’échelle de la France, l’orthodromie ne se distingue pas visuellement d’un trait droit, et l’écart avec la ligne tracée sur une carte routière est de l’ordre du kilomètre. À l’échelle du monde, elle devient franchement déroutante : un Paris–Tokyo passe par la Sibérie et frôle le cercle polaire alors que les deux villes sont presque à la même latitude. Sur un planisphère, cette route a l’air d’un détour absurde vers le haut ; sur un globe, c’est manifestement le chemin le plus court.

Pourquoi Haversine et pas le cosinus sphérique

Il existe deux formules pour calculer un arc de grand cercle. La plus courte, dite du cosinus sphérique, tient sur une ligne :

d = R · arccos( sin φ₁ · sin φ₂ + cos φ₁ · cos φ₂ · cos Δλ )

Elle est correcte en mathématiques et catastrophique en informatique. Quand les deux points sont proches, la quantité entre parenthèses vaut presque exactement 1 - et l’arc cosinus est extrêmement sensible au voisinage de 1 : sa dérivée y est infinie. Un nombre en virgule flottante ne dispose que d’une quinzaine de chiffres significatifs, si bien que la moindre erreur d’arrondi dans le calcul se trouve démultipliée dans le résultat. Sur deux villes distantes de quelques kilomètres, la formule peut renvoyer n’importe quoi, y compris zéro.

La formule de Haversine contourne le problème en travaillant sur des demi-angles et en terminant par un atan2 plutôt qu’un arccos, ce qui reste stable aux deux extrémités du domaine. Son nom vient du haversine, ou demi-sinus verse : hav(θ) = sin²(θ/2), une fonction tabulée dans les recueils de navigation du XIXe siècle, quand la précision se lisait dans un livre et non dans un processeur.

C’est exactement le régime qui compte pour Trilatéra. Le palier « brûlant » du mode France s’arrête à 17 km, et plusieurs villes du corpus sont à moins de 10 km l’une de l’autre. Une formule qui perd sa précision sous 20 km rendrait ces paliers illisibles.

La sphère, et l’erreur qu’on accepte

Reste une approximation, celle-là volontaire. La Terre n’est pas une sphère : sa rotation l’aplatit aux pôles. Son rayon vaut environ 6 378 km à l’équateur et 6 357 km sur l’axe polaire. Le modèle qui décrit cet aplatissement s’appelle WGS84 et c’est celui dans lequel ton GPS exprime ses coordonnées.

Trilatéra n’en tient pas compte : il calcule sur une sphère de rayon moyen 6 371 km. Voici ce que ça coûte, en comparant la distance affichée par le jeu à la distance géodésique exacte sur l’ellipsoïde :

L’erreur n’est ni constante ni proportionnelle : elle dépend de l’orientation du trajet. Une route nord-sud, qui traverse les latitudes où l’aplatissement joue le plus, s’écarte davantage qu’une route est-ouest de même longueur. C’est pourquoi Brest–Nice, mille kilomètres à peine, se trompe de 2 km quand Paris–Sydney, dix-sept fois plus long, ne se trompe que de 3 km.

Calculer l’exact demanderait les formules de Vincenty, qui procèdent par itérations successives jusqu’à convergence. Le jeu les rejette pour une raison simple : aucun de ces écarts ne déplace jamais un essai d’un palier de température à l’autre. Les seuils du mode France sont espacés de 17, 88, 220, 440, 660 et 880 km ; ceux du mode Monde de 300, 1 600, 4 000 km. Une erreur de 24 km sur une distance de 9 700 km est très loin de faire basculer quoi que ce soit, et une erreur de 100 mètres sur Paris–Marseille n’existe même pas à l’affichage, qui arrondit au kilomètre.

Ce que ça change pour toi

Concrètement, une seule chose, mais elle est utile : quand une distance te paraît fausse en mode Monde, elle ne l’est pas - c’est ton intuition qui est plate. Tu estimes les écarts sur une image mentale de planisphère, où les hautes latitudes sont étirées et où les routes polaires n’existent pas. Le jeu, lui, mesure sur un globe.

La règle pratique : sur les trajets qui remontent vers le nord, la distance réelle est inférieure à ce que ton œil annonce sur un planisphère. Un exemple pris dans le corpus du jeu : Helsinki est à 7 818 km de Tokyo, Rome à 9 852 km - deux mille kilomètres d’écart en faveur de la ville la plus septentrionale, alors que sur une carte rectangulaire Rome paraît nettement plus avancée vers l’Asie. Moscou fait encore mieux, à 7 477 km. Le grand cercle passe par le nord, où les méridiens se resserrent, et raccourcit tout ce qui s’y engage.

Ce décalage est développé dans les pièges du mode Monde, et le glossaire détaille les termes employés ici.